正多边形和圆 教案设计

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求证：五边形ABCDE是正五边形.

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可.

教师引导学生分析，学生动手证明.

证法1：连结OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE外切于⊙O.

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.

∴∠BAO=∠OCB.

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.

∴五边形ABCDE是正五边形.

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.

∠B=∠C ∠1=∠2 =.

同理 ===，

即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点.所以五边形ABCDE是正五边形.

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点.由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”.

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.

求证：五边形ABCDE是正五边形.(证明略)

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法.

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N.

求证：五边形ABCDE是正五边形.(证明略)

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬.

例2、已知：正六边形ABCDEF.

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆.

作法：1过A、B、C三点作⊙O.⊙O就是所求作的正六边形的外接圆.

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆.

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆.

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形.

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例.

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形;

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形.

3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆.

(三)小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法.

能力与方法：重点复习了正多边形的判定.正多边形的外接圆与内切圆的画法.

(四)作业

教材P172习题4、5;另A层学生：P174B组3、4.

探究活动

折叠问题：(1)想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形.

(提示：①对折;②再折使A、B、C分别与O点重合即可)

(2)想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形.

(提示：可以.主要应用把一个直角三等分的原理.参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD;

②对折小正方形ABCD的中线;

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上(即B’);

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形.)

探究问题：

(安徽省2002)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形;

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形.如图一，△ABC是正三角形, 形， ==，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形;

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形.我想，边数是7时，它可能也 是正多边形.

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等.

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证).

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明).

(1)[说明]

(2)[证明]

(3)[猜想]

解：(1)由图知∠AFC对 .因为 =，而∠DAF对的 =+ =+ =.所以∠AFC=∠DAF.

同理可证，其余各角都等于∠AFC.所以，图1中六边形各内角相.

(2)因为∠A对 ，∠B对 ，又因为∠A=∠B，所以 =.所以 =.

同理 ======.所以 七边形ABCDEFG是正七边形.

猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

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