高三数学三角函数、解三角形训练题

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高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为(　　)
A．－12　　　　B.12　　　　C．－32　　　　D.32
解析：∵|OP|＝64m2＋9，且cosα＝－8m64m2＋9＝－45，
   ∴m＞0，且64m264m2＋9＝－1625＝－45，∴m＝12.
答案：B
2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1    B．4  C．1或4 D．2或4
解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，
   则2R＋α•R＝6，12α•R2＝2，解得α＝1，或α＝4.
答案：C
3．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像(　　)
A．关于直线x＝π4对称   B．关于点(π3，0)对称
C．关于点(π4，0)对称   D．关于直线x＝π3对称
解析：∵T＝π，∴ω＝2. 
∵当x＝π4 时，f(x)＝12；当x＝π3时，f(x)＝0，∴图像关于(π3，0)中心对称.
答案：B
4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝cos2x－π3的图像(　　)
A．向右平移π6个单位   B．向右平移π3个单位
C．向左平移π3个单位    D．向左平移π6个单位
解析：由cos2x＝cos2x－π3＋π3＝cos2x＋π6－π3
知，只需将函数y＝cos2x－π3的图像向左平移π6个单位.
答案：D
5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a的取值范围是(　　)
A.0，12   B.12，1
C.－1，－12   D.－12，0
解析：∵3sin2＋cos2＝2sin2＋π6，又34π＜2＋π6＜56 π，∴1＜2sin2＋π6＜2，
  即1＜2a＜2，∴0＜a＜12.
答案：A
6．函数y＝3sin－2x－π6(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　)
A.0，5π12   B.π6，2π3
C.π6，11π12   D.2π3，11π12
解析：∵y＝－3sin2x＋π6，∴由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得
    kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z.  又x∈[0，π]，∴k＝0.此时x∈π6，2π3.
答案：B
7．已知tanα＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值是(　　)
A．－112 B.112    C.322 D.318
解析：tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanαtan(α－β)＝12－251－12×－25＝112.
答案：B
8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为(　　)
A．－12   B.12  C．－32   D.32
解析：f5π3＝f5π3－2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.
答案：D
9．已知cosπ4＋θcosπ4－θ＝14，则sin4θ＋cos4θ的值等于(　　)
A.34 B.56 C.58   D.32
解析：由已知，得sinπ4－θcosπ4－θ＝14，即12sinπ2－2θ＝14，∴cos2θ＝12.
∴sin22θ＝1－122＝34。则sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ＝1－38＝58.
答案：C
10．已知α、β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β＝(　　)
A．－3π4    B.π4或3π4 C.3π4 D.π4
解析：∵α、β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，
∴cosα＝255，cosβ＝31010，且α＋β∈(0，π)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝65050－5050＝55050＝22， ∴α＋β＝π4.
答案：D
11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形   B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形   D．等腰直角三角形
解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，
∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2， 故△ABC为直角三角形．
答案：B
12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是(　　)
A.2063米    B．106米 C.1063米  D．202米
解析：设折断点与树干底部的距离为x米．
则xsin45°＝20sin(180°－75°－45°)＝20sin60°，
∴x＝20×sin45°sin60°＝2023＝2063(米).
答案：A

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若π4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________．
解析：由题意，得fπ4＝sinπ2＋acos2π4＝0，∴1＋12a＝0，∴a＝－2.
∴f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，
∴f(x)的最小正周期为π.
答案：π
14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 则△ABC的形状为__________．
解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，
∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3， ∴tanC＝3，又C∈(0，π)，∴C＝π3.
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，
∴cosAsinB＝34，∴sinAcosB＝cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.
∴△ABC为正三角形．
答案：正三角形
15．若将函数y＝tanωx＋π4(ω＞0)的图像向右平移π6个单位后，与函数y＝tanωx＋π6的图像重合，则ω的最小值为__________．
解析： 由已知，得tanωx－π6＋π4＝tanωx－ω6π＋π4＝tanωx＋π6，得π4－ω6π＝kπ＋   
    π6(k∈Z)，∴ω＝－6k＋12(k∈Z)．∵ω＞0，∴当k＝0时，ω的 最小值为12.
答案：12
16．给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；
②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝12，tanβ＝13，则α＋2β＝π4；
③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．
其中真命题的序号是__________．
解析：①中，S扇形＝12α•R2＝12×12×22＝1，
∴①不正确．
②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tanβ1－tan(α＋β)tanβ＝13＋121－13×12＝1，
又α、β为锐角，tan(α＋β)＝12＞0，∴0＜α＋β＜π2.
又由tanβ＝13＜1，得0＜β＜π4，  ∴0＜α＋2β＜34π，∴α＋2β＝π4.∴②正确．
③中，由sinA＜sinB⇒BC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)⇒BC＜AC.∴③正确．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0，
∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．∴④正确．
答案：②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知sinα＝－55 ，tanβ＝－13，且α、β∈－π2，0.
(1)求α＋β的值； (2)求2sin＝π4－α＋cosπ4＋β的值．
解析：(1)∵sinα＝－55，α∈－π2，0， ∴cosα＝255.∴tanα＝－12，
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1.  又∵－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－π4.

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