等差数列的前n项和

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等差数列的前n项和

    教学目标
    1.把握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
    (1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
    (2)用方程思想熟悉等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
    (3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
    2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟悉问题,解决问题的一般思路和方法.
    3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的练习,发展学生的思维水平.
    4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
    教学建议
    (1)知识结构
    本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
    (2)重点、难点分析
    教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
    推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
    高斯算法表现了大数学家的聪明和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
    (3)教法建议
    ①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
    ②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
    ③强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思考方法与研究方法.
    ④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
    ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
    等差数列的前项和公式教学设计示例
    教学目标
    1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
    2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
    教学重点,难点
    教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
    教学用具
    实物投影仪,多媒体软件,电脑.
    教学方法
    讲授法.
    教学过程
    一.新课引入
    提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
    问题就是(板书)“ ”
    这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
    我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
    二.讲解新课
    (板书)等差数列前 项和公式
    1.公式推导(板书)
    问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
    思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
    ,有以下等式
    ,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
    思路二:
    上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
    ,
    于是有: .这就是倒序相加法.
    思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
    于是得到了两个公式(投影片): 和 .
    2.公式记忆
    用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
    3.公式的应用
    公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
    例1.求和:(1) ;
    (2) (结果用 表示)
    解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
    例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
    本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注重得到的项数 必须是正整数.
    三.小结
    1.推导等差数列前 项和公式的思路;
    2.公式的应用中的数学思想.
    四.板书设计