数学教案－曲线和方程

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　　这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．

　　让我们用这个方法试解如下问题：

　　例2：点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数  求点  的轨迹方程．

　　分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

　　求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

　　分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

　　首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

　　（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如  表示曲线上任意一点 的坐标；

　　（2）写出适合条件 的点  的集合

 ；

　　（3）用坐标表示条件  ，列出方程  ；

　　（4）化方程  为最简形式；

　　（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

　　一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

　　上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．

　　下面再看一个问题：

　　例3：已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到  点的距离减去它到 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

　　【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．

　　解：设点  是曲线上任意一点，  轴，垂足是  （如图2），那么点  属于集合

 

　　由距离公式，点  适合的条件可表示为

           ①

　　将①式 移项后再两边平方，得

 

　　化简得

 

　　由题意，曲线在 轴的上方，所以  ，虽然原点  的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为   ，它是关于 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．

【练习巩固】

　　题目：在正三角形 内有一动点 ，已知 到三个顶点的距离分别为  、  、  ，且有  ，求点 轨迹方程．

　　分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设  、  的坐标为  、  ，则 的坐标为  ， 的坐标为  ．

 　　根据条件  ，代入坐标可得

　　化简得

             ①

　　由于题目中要求点 在三角形内，所以 ，在结合①式可进一步求出 、 的范围，最后曲线方程可表示为

 

【小结】师生共同总结：

　　（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

　　（2）如何求曲线的方程？

　　（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？

【作业】课本第72页练习1，2，3；

【板书设计】

§7．6 求曲线的方程

坐标法：

解析几何：

基本问题：

（1）

（2）

例1：

例2：

求曲线方程的步骤：

例3

练习：

小结：

作业：

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