巧用面积法解题

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许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。
一. 用面积法证线段相等
  例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE。

图1
证明：连结EC，由BD=DC得，
，
两式两边分别相加，得

故
所以BE=CF。
注：直接由得
更简洁。
 
二. 用面积法证两角相等
  例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC。

图2
证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。
因为△ACD、△BCE都是等边三角形，
所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，
所以∠ACE=∠DCB
所以△ACE≌△DCB
所以AE=BD，
可得CP=CQ
所以OC平分∠AOB
即∠AOC=∠BOC
 
三. 用面积法证线段不等
  例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。
求证：BD>CD。

图3
证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F
设BC边上的高为h。
因为∠BAD=∠DAC
所以DE=DF
因为
且AD>AC
所以
即
所以BD>CD
 
四. 用面积法证线段的和差
  例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
求证：PE+PF+PD=h。

图4
证明：连结PA、PB、PC
因为，
又
所以。
因为△ABC是等边三角形
所以
即PE+PF+PD=h
 
五. 用面积法证比例式或等积式
  例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。
求证：。

图5
证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
因为AD是△ABC的角的平分线，
所以DE=DF，
则有。
过A点作AH⊥BC，垂足为H，
则有
即
 
六. 用面积比求线段的比
  例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。
求证：。

图6
证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则
，
所以。
又，
所以，

所以。