高中数学知识点：空间点、直线、平面之间的位置关系

　　一. 本周教学内容：空间点、直线、平面之间的位置关系

　　二. 重点：

　　1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内。

　　2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

　　3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

　　4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

　　5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面

　　6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行

　　7. 平面与平面的位置关系：相交、平行

　　【典型例题

　　[例1] 下列结论中正确的有个

　　（1）过空间三点的平面有且只有一个

　　（2）过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个

　　（3）过空间两条相交直线的平面有且只有一个

　　（4）过空间两条平行直线的平面有且只有一个

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　答案：C

　　解析：（2）（3）（4）正确。

　　[例2]（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？

　　（2）空间四条平行直线可确定几个平面？

　　（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？

　　答案：

　　（1）1个或3个

　　（2）1个，4个或6个

　　（3）1个，3个或4个

　　[例3]　 外三边所在直线分别交平面 #FormatImgID_0#

　　∴　 中E、F为AA1、CC1中点，求证： #FormatImgID_2#

　　证明：延长　交AD于M，延长　交DC于N

　　E为A1A中点 ∴ MA=AD

　　同理CN=CD

　　∴ M、N、B三点共线

　　∴

　　[例5] 空间不共点的四条直线两两相交，求证四线共面。

　　证明：

　　（1）有三线共点，如图

　　A、B、D确定平面　同理

　　（2）无三点共线，如图

　　A、D、F三点确定平面 #FormatImgID_4#

　　证明：D为　上一点

　　，

　　确定平面　同理A、C、D #FormatImgID_5#

　　互相平分 MN过EF中点

　　∴ EF、GH、MN交于一点且互相平分

　　[例8] 正方体　成异面关系的棱有 条；

　　（3）与BD成异面关系的棱有 条；

　　（4）12条棱中异面直线有 对。

　　解：（1）4条 （2）6条 （3）6条 （4）24对

　　[例9] 空间四边形ABCD（A、B、C、D不共面）E、M为AD的三分点，F、N为BC的三分点，由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。

　　答案：六对，任意两条均异面

　　证明：EF、MN异面（反证法）

　　假设EF、MN共面 #FormatImgID_9#

　　∴ A、B、C、D　与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立

　　∴ EF、MN为异面直线

　　[例10] 正方体 #FormatImgID_10#

　　解：

　　（1）

　　∵ 正　∴　 异面，　B.　 D. 2MN与AC BD无法比较

　　3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。

　　4.　 ，则　，求证　所在平面外一点，　，D、E、F依次为　、　的重心，求　的面积。

　　【试题答案】

　　1. 平行或相交或异面

　　2. B

　　3. 相交或异面

　　4. 平行或相交或异面

　　5. ∵　∴　 没有公共点 ∵　 ∴　 与　无公共点

　　6. 连PD延长交AB于M，连PE延长交BC于N，连结MN

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