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下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切1

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二倍角的正弦、余弦、正切(第一课时)

(一)教学具准备
  
投影仪或多媒体设备

(二)教学目标
  
1.掌握 、 、 公式的推导,明确 的取值范围.
  2.运用二倍角公式求三角函数值.

(三)教学过程
1.设置情境
  师:我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,请大家回忆一下这组公式的来龙去脉,并请一个同学把这六个公式写在黑板上,
  生:
    
    
    
  师:很好,对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它,另一方面要从公式的结构特点上去记忆,还要注意公式的正用、逆用和变用.今天,我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式
2.探索研究
  师:请大家想一想,在公式 、 、 中对 、 如何合理赋值,才能出现 、 、 的表达式,并请同学把对应的等式写在黑板上.
  生:可在 、 、

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www.jiaoshi66.com 中,令 ,就能出现 、 、 ,对应表达式为:
    
    
    
  即:
    
    
  师:很好,看来本节课的主要任务,已经被大家轻松完成了.对于公式 ,我们似乎要注意些什么?大家想一想要关注什么?
  生:要使 有意义及 , 有意义.
  师: 有意义即 , .
   ,即 ,也就是

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www.jiaoshi66.com ,可变为 .
  要使 有意义,则须 .
  综合起来就是 ,且 , .当 时,虽然 的值不存在,但 的值是存在的,这时求 的值可利用诱导公式,即 .
  师:对于 ,还有没有其他的形式?
  生:有(板书)
  ∵    ∴ 或
  ∴
  师:(板书三个公式,并告诉学生公式记号分别为 、 、 )对二倍角公式大家要注意以下问题.(1)用

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www.jiaoshi66.com 和 表示 、 ,用 表示 ,即用单角的三角函数表示复角的三角函数.(2) 有三种形式, 是有条件的.
3.例题分析
  【例1】已知 , .求 , , 的值.
  解:因为 , .所以
    于是
      
      
  说明:本题也可按下列程序来做,请大家比较方法之优劣.
  ∵ ,

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  ∴ ,且 ,
  
      
      

    
    

【例2】不查表求值:
  (1) ;  (2) ;
  (3) ;     (4) .
解:(1)
             

             

             

  (2)
           

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  (3)
  (4)
                
                
                
  说明:逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公式原形以便合理运用公式.

【例3】 求证:
  引导学生观察式子两边的结构,提出证题的方向.
  生:左边都是单角的三角函数,右边是二倍角.又因左边比右边明显复杂得多,所以应由左边证向右边,注意把单角的三角函数变为二倍角.
  师:(板书)
证明:左边
     
     
      右边
所以原式成立

【例4】化简: .
  师:这道题给我们的感觉是有些无从下手,很难看出有什么公式可以直接使用.两个角 与 似乎还有一线希望,但由于受函数名称限制难以发挥它的作用,大家都来想想看,有什么办法可以打破这一僵局(请同学们讨论)?
  生:在同角三角函数的化简中,如果一个式子有弦、有切,我们可以把切化成弦.
  师:好的,我们来尝试(板书)
  解:

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  说明:本题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后果然获得成功,其实把正切化为弦就是一条重要思想,请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律.另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性.希望大家一并记下.

练习(投影)

(1)化简
(2)
(3)若 ,则
答案:(1) ;(2) ;(3)8

4.总结提炼

  (1)在两角和的三角函数公式 、 、 中,当 时,就可以得到二倍角的三角函数公式 、 、

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www.jiaoshi66.com ,说明后者是前者的特例.
  (2) 、 中角 没有限制条件,而 中,只有 和 时,才成立.
  (3)二倍角公式不仅限于 是 的二倍形式,其他如 是 的2倍, 是 的二倍, 是 的二倍等等都是适用的,要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.
   有三种形式 ,要依据条件,灵活选用公式.另外,逆用此公式时,更要注意结构形式.

(四)板书设计

二倍角公式

应注意几个问题:

例1

例2

例3

例4

演练反馈

总结提炼



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