复数的有关概念

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复数的有关概念

    教学目标
    (1)把握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
    (2)正确对复数进行分类,把握数集之间的从属关系;
    (3)理解复数的几何意义,初步把握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
    (4)培养学生数形结合的数学思想,练习学生条理的逻辑思维能力.
    教学建议
    (一)教材分析
    1、知识结构
    本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.
    2、重点、难点分析
    (1)正确复数的实部与虚部
    对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注重在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
    说明:对于复数的定义,非凡要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
    (2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
    分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
    注重分清复数分类中的界限:
    ①设 ,则 为实数
    ② 为虚数
    ③ 且 。
    ④ 为纯虚数 且
    (3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注重:
    ①化为复数的标准形式
    ②实部、虚部中的字母为实数,即
    (4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注重:
    ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.
    ②复数 用复平面内的点Z( )表示.复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度.
    ③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时, 是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.
    由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
    ④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写.要学生注重.
    (5)关于共轭复数的概念
    设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
    教师可以提一下当 时的非凡情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当 时, 与 互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的非凡情行.
    (6)复数能否比较大小
    教材最后指出:“两个复数,假如不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注重:
    ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,假如不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.
    ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:
    (i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;
    (ii)假如a<b,b<c,那么a<c;
    (iii)假如a<b,那么a+c<b+c;
    (iv)假如a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)
    (二)教法建议
    1.要注重知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注重与平面解析几何的联系.
    2.注重数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注重复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.
    3.注重分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,假如不全是实数就不能本节它们的大小”没有证实,假如有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证实,可以在课下给学有余力的学生进行解答.
    复数的有关概念
    教学目标
    1.了解复数的实部,虚部;
    2.把握复数相等的意义;
    3.了解并把握共轭复数,及在复平面内表示复数.
    教学重点
    复数的概念,复数相等的充要条件.
    教学难点
    用复平面内的点表示复数M.
    教学用具:直尺
    课时安排:1课时
    教学过程:
    一、复习提问:
    1.复数的定义。
    2.虚数单位。
    二、讲授新课
    1.复数的实部和虚部:
    复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
    2.复数相等
    假如两个复数 与 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
    即: 的充要条件是 且 。
    例如: 的充要条件是 且 。
    例1: 已知 其中 ,求x与y.
    解:根据复数相等的意义,得方程组:
    ∴
    例2:m是什么实数时,复数 ,
    (1) 是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.
    解:
    (1) ∵ 时,z是实数,
    ∴ ,或 .
    (2) ∵ 时,z是虚数,
    ∴ ,且
    (3) ∵ 且 时,
    z是纯虚数. ∴
    3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
    复平面的定义
    建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.
    复数 可用点 来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.
    4.复数的几何意义:
    复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
    5.共轭复数
    (1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
    (2)复数z的共轭复数用 表示.若 ,则: ;
    (3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.
    (4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称.
    三、练习 1,2,3,4.
    四、小结:
    1.在理解复数的有关概念时应注重:
    (1)明确什么是复数的实部与虚部;
    (2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
    (3)弄清复平面与复数的几何意义;
    (4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
    2.复数集与复平面上的点注重事项:
    (1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写。
    (2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
    (3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
    (4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
    五、作业 1,2,3,4,
    六、板书设计:
    §8,2复数的有关概念
    1定义:例1 3定义:4几何意义:
    …… …… …… ……
    2定义:例2 5共轭复数:
    …… …… …… ……