空间向量及其应用

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    例2.下列命题正确的是(      )
    若 与 共线, 与 共线,则 与 共线;
    向量 共面就是它们所在的直线共面;
    零向量没有确定的方向;
    若 ,则存在唯一的实数 使得 ;
    解析:A中向量 为零向量时要注意,B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样,D中需保证 不为零向量。
    答案C。
    点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾。
    题型2:空间向量的基本运算
    例3.如图:在平行六面体 中, 为 与 的交点。若 , , ,则下列向量中与 相等的向量是(   )
    解析:显然  ;
    答案为A。
    点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
    例4.已知: 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
    解:  ∥ ,,且 即
    又 不共面,
    点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。
    题型3:空间向量的坐标
    例5.(1)已知两个非零向量 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3),它们平行的充要条件是(  )
    A.  :| |= :| |            B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
    C.a1b1+a2b2+a3b3=0            D.存在非零实数k,使 =k
    (2)已知向量 =(2,4,x), =(2,y,2),若| |=6, ⊥ ,则x+y的值是(  )
    A. -3或1      B.3或-1      C. -3      D.1
    (3)下列各组向量共面的是(  )
    A.  =(1,2,3), =(3,0,2), =(4,2,5)
    B.  =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)
    C.  =(1,1,0), =(1,0,1), =(0,1,1)
    D.  =(1,1,1), =(1,1,0), =(1,0,1)
    解析:(1)D;点拨:由共线向量定线易知;
    (2)A 点拨:由题知   或 ;
    (3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。
    点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。
    例6.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。设 = , = ,(1)求 和 的夹角 ;(2)若向量k + 与k -2 互相垂直,求k的值.
    思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果.
    解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), = , = ,
    ∴ =(1,1,0), =(-1,0,2).
    (1)cos = =  - ,
    ∴ 和 的夹角为- 。
    (2)∵k + =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
    k -2 =(k+2,k,-4),且(k + )⊥(k -2 ),
    ∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
    则k=- 或k=2。
    点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k · -2 2=2k2+k-10=0,解得k=- ,或k=2。
    题型4:数量积
    例7.(2000江西、山西、天津理,4)设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
    ①( · ) -( · ) =   ②| |-| |<| - |  ③( · ) -( · ) 不与 垂直
    ④(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中,是真命题的有(    )
    A.①②      B.②③      C.③④      D.②④
    答案:D
    解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
    ②由向量的减法运算可知| |、| |、| - |恰为一个三角形的三条边长,由"两边之差小于第三边",故②真;
    ③因为[( · ) -( · ) ]· =( · ) · -( · ) · =0,所以垂直.故③假;
    ④(3 +2 )(3 -2 )=9· · -4 · =9| |2-4| |2成立.故④真.
    点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。
    例8.(1)(2009上海文,理2)已知向量 和 的夹角为120°,且| |=2,| |=5,则(2 - )· =_____.
    (2)设空间两个不同的单位向量 =(x1,y1,0), =(x2,y2,0)与向量 =(1,1,1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< , >的大小(其中0<< , ><π 。
    解析:(1)答案:13;解析:∵(2 - )· =2 2- · =2| |2-| |·| |·cos120°=2·4-2·5(- )=13。
    (2)解:(1)∵| |=| |=1,∴x +y =1,∴x =y =1.
    又∵ 与 的夹角为 ,∴ · =| || |cos =  = .
    又∵ · =x1+y1,∴x1+y1= 。
    另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=( )2-1= .∴x1y1= 。
    (2)cos< , >= =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= ,x1y1= .∴x1,y1是方程x2- x+ =0的解.
    ∴ 或 同理可得 或
    ∵ ≠ ,∴ 或
    ∴cos< , >= · + · = + = .
    ∵0≤< , >≤π,∴< , >= 。
    评述:本题考查向量数量积的运算法则。
    题型5:空间向量的应用
    例9.(1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证: + + ≤4 。
    (2)已知F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用于同一物体上,使物体从点M1(1,-2,1)移到点M2(3,1,2),求物体合力做的功。
    解析:(1)设 =( , , ), =(1,1,1),
    则| |=4,| |= .
    ∵ · ≤| |·| |,
    ∴ · = + + ≤| |·| |=4 .
    当 = = 时,即a=b=c= 时,取"="号。
    (2)解:W=F·s=(F1+F2+F3)· =14。
    点评:若 =(x,y,z), =(a,b,c),则由 · ≤| |·| |,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| |·| |≥ · 的应用,解题时要先根据题设条件构造向量 , ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
    例10.如图,直三棱柱 中, 求证: 
    证明:
    同理
    又 
    设 为 中点,则 
    又
    点评:从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题,要用到空间多边形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直的条件。
    五.思维总结
    本讲内容主要有空间直角坐标系,空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i,j,k}建立坐标系,对于O点的选取要既有作图的直观性,而且使各点的坐标,直线的坐标表示简化,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos<a,b>在二维、三维都是这样定义的,不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ,对于中点公式要熟记。
    对本讲内容的考查主要分以下三类:
    1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
    此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
    2.向量在空间中的应用
    在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
    在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题,即源于课本。因此,掌握双基、精通课本是本章关键。

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