逻辑、推理与证明、复数、框图

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逻辑、推理与证明、复数、框图

    一.课标要求:
    1.常用逻辑用语
    (1)命题及其关系
    ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系;
    (2)简单的逻辑联结词
    通过数学实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
    (3)全称量词与存在量词
    ① 通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义;
    ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
    2.推理与证明
    (1)合情推理与演绎推理
    ①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用;
    ②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;
    ③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
    (2)直接证明与间接证明
    ①结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;
    ②结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点;
    (3)数学归纳法
    了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;
    (4)数学文化
    ①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想;
    ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用;
    3.数系的扩充与复数的引入
    (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
    (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;
    (3)了解复数的代数表示法及其几何意义;
    (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
    4.框图
    (1)流程图
    ①通过具体实例,进一步认识程序框图;
    ②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图);
    ③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用;
    (2)结构图
    ①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息;
    ②结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。
    二.命题走向
    常用逻辑用语
    本部分内容主要是常用的逻辑用语,包括命题与量词,基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
    预测07年高考对本部分内容的考查形式如下:考查的形式以选择、填空题为主,考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
    推理证明
    本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;
    预计2009年高考将会有较多题目用到推理证明的方法。
    复数
    复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义,一般是选择题、填空题,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势。
    预测2009年高考对本讲的试题难度不会太大,重视对基本问题诸如:复数的四则运算的考查,题目多以选择、填空为主。
    框图
    本部分是新课标新增内容,历年高考中涉及内容很少,估计2009年高考中可能在选择题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特征的形式出现;也可能以画某种知识的结构图或解决某类问题的流程图为形式的解答题出现,但不论哪种形式,所占份量都不会很大。
    三.要点精讲
    1.常用逻辑用语
    (1)命题
    命题:可以判断真假的语句叫命题;
    逻辑联结词:"或""且""非"这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结词的命题。复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
    常用小写的拉丁字母p,q,r,s,……表示命题,故复合命题有三种形式:p或q;p且q;非p。
    (2)复合命题的真值
    "非p"形式复合命题的真假可以用下表表示:      
    p 非p
    真 假
    假 真
    "p且q"形式复合命题的真假可以用下表表示:
    p q p且q
    真 真 真
    真 假 假
    假 真 假
    假 假 假
    "p且q"形式复合命题的真假可以用下表表示:
    p q P或q
    真 真 真
    真 假 真
    假 真 真
    假 假 假
    注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表;2°由真值表得:"非p"形式复合命题的真假与p的真假相反;"p且q"形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况为假;"p或q"形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况为真;3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。
    (3)四种命题
    如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题;
    如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,这个命题叫做原命题的否命题;
    如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,这个命题叫做原命题的逆否命题。
    两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时,可转化为判断其逆否命题的真假。
    (4)条件
    一般地,如果已知p==>q,那么就说:p是q的充分条件;q是p的必要条件。
    可分为四类:(1)充分不必要条件,即p==>q,而q p;(2)必要不充分条件,即p q,而q==>p;(3)既充分又必要条件,即p==>q,又有q==>p;(4)既不充分也不必要条件,即p q,又有q p。
    一般地,如果既有p==>q,又有q==>p,就记作:p q." "叫做等价符号。p q表示p==>q且q==>p。
    这时p既是q的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件,简称充要条件。
    (5)全称命题与特称命题
    这里,短语"所有"在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 表示。含有全体量词的命题,叫做全称命题。
    短语"有一个"或"有些"或"至少有一个"在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。
    2.推理与证明
    (1)合情推理
    根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳)。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理;

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