逻辑、推理与证明、复数、框图

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    根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比)。
    类比推理的一般步骤:
    (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般地,事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;(4)在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。
    (2)演绎推理
    分析上述推理过程,可以看出,推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题(如"全等三角形")推出特殊性命题的过程,这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。
    (3)证明
    反证法:要证明某一结论A是正确的,但不直接证明,而是先去证明A的反面(非A)是错误的,从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法。
    反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
    注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。
    分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法。
    用分析法证明不等式的逻辑关系是:
    分析法的思维特点是:执果索因;
    分析法的书写格式: 要证明命题B为真,只需要证明命题为真,
    从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……
    这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故命题B必为真。
    综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法,
    用综合法证明不等式的逻辑关系是:
    综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
    3.数系的扩充与复数的引入
    形如a+bi(a,b 的数,我们把它们叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。
    复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;复数的加法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;复数的除法法则:(a+bi) (c+di)= = =                  = + ;
    4.框图
    (1)结构图
    首先,你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握,从头止尾抓住主要脉络进行分解,然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,这样就画成了知识结构图。
    认识结构图:由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成。
    绘制结构图的步骤:1)先确定组成系统的基本要素,以及这些要素之间的关系;2)处理好"上位"与"下位"的关系;"下位"要素比"上位"要素更为具体, "上位"要素比"下位"要素更为抽象。3)再逐步细化各层要素;4)画出结构图,表示整个系统。
    (2)流程图
    绘制流程图的一般过程:首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表达;再次,分析各步骤之间的关系;最后,画出流程图表示整个流程。
    鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端,人们开始用流程图来表示算法,这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长,又消除了起义性,且能清晰准确地表述该算法的每一步骤,因而深受欢迎。
    设计算法解决问题的主要步骤:
    第一步、用自然语言描述算法;
    算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它。
    第二步、画出程序框图表达算法;
    第三步、写出计算机相应的程序并上机实现。
    四.典例解析
    题型1:判断命题的真值
    例1.写出由下述各命题构成的"p或q","p且q","非p"形式的复合命题,并指出所构成的这些复合命题的真假。
    (1)p:9是144的约数,q:9是225的约数。
    (2)p:方程x2-1=0的解是x=1,q:方程x2-1=0的解是x=-1;
    (3)p:实数的平方是正数,q:实数的平方是0.
    解析:由简单命题构成复合命题,一定要检验是否符合"真值表"如果不符要作语言上的调整。
    (1)p或q:9是144或225的约数;
    p且q:9是144与225的公约数,(或写成:9是144的约数,且9是225的约数);
    非p:9不是144的约数.
    ∵p真,q真,∴"p或q"为真,"p且q" 为真,而"非p"为假.
    (2)p或q:方程x2-1=0的解是x=1,或方程x2-1=0的解是x=-1(注意,不能写成"方程x2-1=0的解是x=±1",这与真值表不符);
    p且q:方程x2-1=0的解是x=1,且方程x2-1=0的解是x=-1;
    非p:方程x2-1=0的解不都是x=1(注意,在命题p中的"是"应理解为"都是"的意思);
    ∵p假,q假,∴"p或q"与,"p且q" 均为假,而"非p"为真.
    (3)p或q:实数的平方都是正数或实数的平方都是0;
    p且q:实数的平方都是正数且实数的平方都是0;
    非p:实数的平方不都是正数,(或:存在实数,其平方不是正数);
    ∵p假,q假,∴"p或q"与"p且q" 均为假,而"非p"为真.
    点评:在命题p或命题q的语句中,由于中文表达的习惯常常会有些省略,这种情况下应作词语上的调整。
    题型2:条件
    例2.(1)(2009北京2)" "是"直线 相互垂直"的(    )
    A.充分必要条件  B.充分而不必要条件
    C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
    答案:B;
    解析:当 时两直线斜率乘积为 从而可得两直线垂直,当 时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。
    点评:对于两条直线垂直的充要条件① 都存在时 ② 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。
    (2)(2009湖南6)设集合A={x| <0 ,B={x || x -1|<a ,若"a=1"是"A∩B≠ "的(   )
    A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 
    C.充要条件           D.既不充分又不必要条件
    答案:A;
    解析:由题意得A:-1<x<1,B:1-a<x<a+1,
    1)由a=1。A:-1<x<1.B:0<x<2。
    则A 成立,即充分性成立。
    2)反之:A ,不一定推得a=1,如a可能为 。
    综合得"a=1"是: A "的充分非必要条件,故选A。
    点评:本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识。
    题型3:四种命题
    例3.(1)(2009江苏13)命题"若a>b,则2a>2b-1"的否命题为             ;

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