空间向量及其应用

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空间向量及其应用

    一.课标要求:
    (1)空间向量及其运算
    ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
    ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
    ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
    ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
    (2)空间向量的应用
    ① 理解直线的方向向量与平面的法向量;
    ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
    ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
    ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
    二.命题走向
    本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
    预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
    三.要点精讲
    1.空间向量的概念
    向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
    相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
    表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
    说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。
    2.向量运算和运算率
    加法交换率:
    加法结合率:
    数乘分配率:
    说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
    3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。 平行于 记作 ∥ 。
    注意:当我们说 、 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说 、 平行时,也具有同样的意义。
    共线向量定理:对空间任意两个向量 ( ≠ )、 , ∥ 的充要条件是存在实数 使 = 
    注:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若 ∥ ( ≠0),则有 =  ,其中 是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数 ,使 =  ( ≠0),则有 ∥ (若用此结论判断 、 所在直线平行,还需 (或 )上有一点不在 (或 )上)。
    ⑵对于确定的 和 , =  表示空间与 平行或共线,长度为 |  |,当 >0时与 同向,当 <0时与 反向的所有向量。
    ⑶若直线l∥ , ,P为l上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导 的表达式。
    推论:如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 
    ①
    其中向量 叫做直线l的方向向量。
    在l上取 ,则①式可化为           ②
    当 时,点P是线段AB的中点,则        ③
    ①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段AB的中点公式。
    注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
    4.向量与平面平行:如果表示向量 的有向线段所在直线与平面 平行或 在 平面内,我们就说向量 平行于平面 ,记作 ∥ 。注意:向量 ∥ 与直线a∥ 的联系与区别。
    共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
    共面向量定理  如果两个向量 、 不共线,则向量 与向量 、 共面的充要条件是存在实数对x、y,使 ①
    注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。
    推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y,使
    ④
    或对空间任一定点O,有 ⑤
    在平面MAB内,点P对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
    又∵  代入⑤,整理得
    ⑥
    由于对于空间任意一点P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点P就在平面MAB内;对于平面MAB内的任意一点P,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量 、 (或不共线三点M、A、B)确定的空间平面的向量参数方程,也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
    5.空间向量基本定理:如果三个向量 、 、 不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,  y,  z,  使
    说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 、 、 不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是 ,这个集合可看作由向量 、 、 生成的,所以我们把{ , , }叫做空间的一个基底, , , 都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是 。
    推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组 ,使
    6.数量积
    (1)夹角:已知两个非零向量 、 ,在空间任取一点O,作 , ,则角∠AOB叫做向量 与 的夹角,记作
    说明:⑴规定0≤ ≤ ,因而 = ;
    ⑵如果 = ,则称 与 互相垂直,记作 ⊥ ;
    ⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重合,注意图(3)、(4)中的两个向量的夹角不同,
    图(3)中∠AOB= ,
    图(4)中∠AOB=  ,
    从而有 = =  .
    (2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
    (3)向量的数量积: 叫做向量 、 的数量积,记作 。
    即 = ,
    向量  :
    (4)性质与运算率
    ⑴ 。           ⑴
    ⑵ ⊥   =0           ⑵ =
    ⑶                 ⑶
    四.典例解析
    题型1:空间向量的概念及性质
    例1.有以下命题:①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关系是不共线;② 为空间四点,且向量 不构成空间的一个基底,那么点 一定共面;③已知向量 是空间的一个基底,则向量 ,也是空间的一个基底。其中正确的命题是(      )
    ①②       ①③       ②③       ①②③
    解析:对于①"如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关系一定共线";所以①错误。②③正确。
    点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。

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