逻辑、推理与证明、复数、框图

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    (2)判断命题:"若 没有实根,则 "的真假性。
    解析:(1)答案:若 ;
    由题意原命题的否命题为"若 "。
    (2)很可能许多同学会认为它是假命题(原因m=0时显然方程有根),而它的逆否命题:"若 有实根",显然为真,其实不然,由 没实根可推得 ,而 的真子集,由 ,故原命题为真,其实,用逆否命题很容易判断它是真命题;
    点评:本题考查了命题间的关系,由原命题写出其否命题。
    题型4:全称命题与特称命题
    例4.命题p:"有些三角形是等腰三角形",则┐p是(    )
    A.有些三角形不是等腰三角形
    B.所有三角形是等腰三角形
    C.所有三角形不是等腰三角形
    D.所有三角形是等腰三角形
    解析:像这种存在性命题的否定命题也有其规律:命题p:"存在 使P(x)成立",┐p为:"对任意 ",它恰与全称性命题的否定命题相反,故的答案为C。
    点评:简易逻辑题,比较抽象,不少学生在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑,但要依据具体的规则进行详细的处理。
    题型5:合情推理
    例5.(1)观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,你由此可以归纳出什么规律?
    (2)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间,并判断类比的结论是否成立:
    1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必于另一条相交。
    2)如果两条直线同时垂直与第三条直线,则这两条直线平行。
    解析:(1)设 为 个点可连的弦的条数,则
    (2)
    1)一个平面如和两个平行平面中的一个相交,则必然和另一个也相交,次结论成立;
    2)若两个平面同时垂直第三个骗马,则这两个平面也相互平行,此结论不成立。
    点评:当前提为真,结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
    题型6:演绎推理
    例6.(06年天津)如图,在五面体 中,点 是矩形 的对角线的交点,面 是等边三角形,棱 。
    (1)证明 //平面 ;
    (2)设 ,证明 平面 。
    解析:(Ⅰ)证明:取CD中点M,连结OM.
    在矩形ABCD中, ,又 ,
    则 ,连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形.
    又 平面CDE,切EM 平面CDE,∵FO∥平面CDE
    (Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,
    且 。
    因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO.而 ,所以EO⊥平面CDF。
    点评:本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力。
    题型7:特殊证法
    例7.(1)用反证法证明:如果a>b>0,那么 ;
    (2)(06全国II)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,…。
    (Ⅰ)求a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式。
    解析:(1)假设 不大于 ,则或者 < ,或者 = 。
    ∵a>0,b>0,∴ <    <  ,  < 
    ,  a<b;
    =  a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾,∴ .
    证法二(直接证法) ,
    ∵a>b>0,∴a - b>0即  ,
    ∴ ,∴ 。
    (2)(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
    于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12。
    当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12,
    于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得a1=16。
    (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,Sn2-2Sn+1-anSn=0。
    当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0   ①
    由(Ⅰ)知S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23。
    由①可得S3=34,由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3,…
    下面用数学归纳法证明这个结论
    (i)n=1时已知结论成立;
    (ii)假设n=k时结论成立,即Sk=kk+1,
    当n=k+1时,由①得Sk+1=12-Sk,即Sk+1=k+1k+2,
    故n=k+1时结论也成立.
    综上,由(i)、(ii)可知Sn=nn+1对所有正整数n都成立,
    于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),
    又n=1时,a1=12=11×2,所以{an}的通项公式an=nn+1,n=1,2,3,…
    点评:要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。
    题型8:复数的概念及性质
    例8.(1)(福建卷)设a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
    A.ad-bc=0         B.ac-bd=0         C. ac+bd=0       D.ad+bc=0
    (2)(北京卷)在复平面内,复数 对应的点位于
    (A)第一象限    (B)第二象限      (C)第三象限     (D)第四象限
    解析:(1) 复数 = 为实数,∴ ,选D;
    (2)解:  故选D;
    点评:复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主要考察复数的的分类和几何性质。
    题型9:复数的运算
    例9.(1)(06浙江卷)已知 (    )
    (A)1+2i            (B) 1-2i             (C)2+i              (D)2-i
    (2)(湖北卷)设 为实数,且 ,则              。
    解析:(1) ,由 、 是实数,得 ,
    ∴ ,故选择C。
    (2) ,
    而  所以 ,解得x=-1,y=5,
    所以x+y=4。
    点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。
    题型10:框图
    例10.(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量;
    方案2:商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
    (2)公司人事结构图
    解析:(1)方案1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决定生产数量。
    方案2: 商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
    于是:
    (2)
    点评:建立合理的结构图和流程图解决实际问题,要形成良好的书写习惯遵循从上到下、从左到右的规则。
    五.思维总结
    1.简易逻辑的重点内容是有关"充要条件"、命题真伪的试题。主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解,试题以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知识、基本题型,求解准确熟练;
    2.推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建立合理的解题思路;
    3.高考对于复数的考察主要以复数的四则运算为主,按新课标的要求高考将不再考察共轭复数、复数的模等知识点;
    4.框图属于新增内容,将以考察考生的实际应用能力为主,考查考生的知识迁移能力。

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