高三数学知识点：三大特点

　　主持人：各位网友大家好!2009年全国高考的数学学科今天下午已经落下帷幕，不知道同学们是不是考得很顺利呢?在这里要预祝大家考个好成绩。在今天晚上这个时间我们将和大家共同关注2009年高考数学真题的点评，为大家邀请到得是北京睿升学校教学顾问、海淀教师进修学校数学教研员、北京市数学特级教师张鹤老师和我们大家进行交流，张老师，先跟各位网友打声招呼吧。

　　张鹤：同学们好!大家辛苦了!

　　主持人：今天是高考数学学科考试的日子，您也拿到了今天的题目，您有什么样的感觉，难度是怎样的?变难了，还是变简单了?题型有没有什么变化?给我们分析一下概况好吗?

　　张鹤：拿到时间不是很长，也做了一下，总体感觉07、08年和09年难度相差不多。从整张试卷来看，结构是由易到难，梯度把握也比较好，比较有利于各类考生的发展。

　　总体感觉，今年的题都是考察的是高中数学里基本概念，数学基本本质的东西，这都是我们高三复习中的重点内容，没有偏题、怪题，课本以外的题目几乎没有。这是给我最初的印象。这个题整体感觉上手比较快，题比较亲切，应该说有利于学生在考场的发挥。这是我初步的一点感受。

　　主持人：接下来的一点时间，请您按您的思路给大家对这份试卷进行分析和点评。

　　张鹤：从整张试卷来看，因为高考毕竟是一个选拔性的考试，从高考命题的立意上来说，还是以能力作为主要的考察重点，还要兼顾各类学生的发展。从试卷来看，很多题目，以理科为例，选择题的第一题、第二题、第三题一直下去到第五题，应该说同学们做完以后感觉都是很基本，很亲切的。因为这些题我们平时也在练。填空题里第一小题，就是十三题，把原来求一个系数的问题变成求两项技术。从题的形式上来看，稍有一些改变，但这些又都是我们经常训练的东西，同学们不会感觉入不了手。我的想法，考察内容相当一部分题目都是很基本的，比如第一题求几何的运算，在06―08年这几年高考中基本上都是这样一类的题目，学生一上手也都非常容易，几乎不会出错，能顺顺当当拿下。第二题考复数的内容，这几年高考对复数要求不是很高，第二题考察复数，也是对学生、同学稳定情绪，逐渐地进入考试状态起到了很好的作用。像第三小题含绝对值不等式，第四小题是考双曲线和抛物线相切，难度不大，也很基本。第五题是排列组合问题，考察同学们的分类讨论的情况。这样一些题目，同学们至少不会有太大的障碍。所以，对基本的内容考察，从命题者来说也还是认真对待，出了这样一些方面的题。

　　从大题来看，解答题的第十七小题，题型跟我们平时练的题型略有区别，应该说更朴实一些，直接就求一个边，不是对直等等一些问题，同学们只需要把三角关系转化为边的关系，当然这需要用正弦定理和余弦定理，结合已知的三角关系就可以求出边与边的长度。考察的都是最基本的内容，应该说占有一定比例了。这也提示了同学们，今后高三和老师复习数学学时还应是这样的，我们要重视基本概念，基本题目的训练和复习。

　　第二，我有一个比较强烈的感觉，中学里的主干知识、核心知识的考察应该说是很有深度的，或者达到必要的深度，而且对主干知识的考察构成了数学试题的主体。数学是思维学科，同学们在复习数学的时候，一个根本点就是，你应该学会用数学的思维方法思考数学问题，解决数学问题。有些同学之所以数学上进步不大，或者感觉数学难学，关键是对数学概念的理解和认识缺乏深度，对数学语言和生活语言、描述性语言、图形语言等等数学语言得转化很多同学不熟练。更重要一点，或者更关键得一点，很多同学对数学概念本质的把握没有达到必要的深度。

　　从这次考试命题来看，也可以看到，选择题当中已经开始接触或者考察这样一些概念，比如选择第十一题，同学们首先要涉及什么叫奇偶函数，这个概念同学们脑子要清楚，甚至有的高三同学最后阶段也说不清楚，对符号的表达式有些同学并没有深刻的认识和理解，如果换成F2X减1是偶函数，加1是奇函数，很多同学就回答不对了，原因是同学们对知识的理解比较机械。这个函数表达式是取两个函数自变量的时候，函数值互为相等，这是偶函数。我们要紧紧把握住，当FX加1我们要考虑是自变量，作为奇函数取相反数的时候，才互为相反数。只有把这句话正确描述出来，才能得出正确的结果。当然，我们也知道所谓奇函数就是两个点对称，从一般结论上来说，我们也容易推出它具有周期性，从这个小结中，我们可以看到，这绝对不是计算题，不是计算错误，马虎造成错误，不是这样的。它需要你对函数概念和知识有深刻的理解，如果认识到这一点，解第十一题也就不难了。

　　这张试卷里考察数学的主干知识，数学函数、三角函数、立体几何，解析几何等等是我们高中数学的主干知识。这张卷子中可以看到有大量的题目涉及到这方面内容，比如选择题的第三小题不等式的内容，第四题是双曲线、抛物线的问题，第七题立体几何，第八题三角函数，第九题可以算做导数，第九―第十二题是选择题。包括第二大题都是考察函数知识。高三复习的时候，我们花了大量的时间来复习主干知识，划出三个大的部分。

　　第三，从这份考题来看，突出了学科的特点，深入考出对数学本质的认识。下面我们谈到的是数学，比如奇函数的问题，第八小题，你要了解一个函数图象点和中心的对称什么意思把握住，这是你解决问题的基本出发点。这次考察的立体几何，我的感觉相对来说有些难度，但它也体现这样几个特点：

　　1、用向量解的同学可能会感觉稍稍舒服一点。简答题里的第十八题这道题来看，还有刚才我提到的第七小题，这两道题我的感觉，因为我没有继续做得太多，感觉用向量法的同学会稍稍简单一些。这也还是体现了新课程对立体几何教学的一个渗透。这两道题还是大纲卷，但在课标卷或者新课标卷中，对解决向量解决立体几何是理科同学必须要学的内容，所以我们要特别关注新课标对我们高三同学对大纲教学的理解和渗透。

　　2、从卷子来看，对同学答题内容和审题的要求应该说也是比较高的，比如第十小题，我估计很多同学在做这道题的时候，如果审地不清楚或者没有看清楚的话，可能会误认为是求P、Q两点之间的距离，如果这样做，显然这道题就会做不出来。我们一是要把题目审清。第十小题、第七小题都没有给图，我们需要根据已知条件，先画出草图，然后根据这个数据不断修正这个草图，使我们图形最接近题目的要求，或者我们看到最舒服的角度。我们同学考察立体几何的时候有这样的情况，由于图做不好，甚至有的同学不会做图，影响了自己的答题，立体几何有这样的特征，我们要特别关注这一点。现在的高三同学或者今后的同学在立体几何复习中更应该注意了。对同学审题的要求更高一些，把题目看清。第八题也是，三角函数这道题，它是求绝对值的，这是同学们审题时要注意的。这段时间我有一个感受，它突出了学科特点。不仅仅是突出了数学学科的特点，因为数学本身里有很多学科，几何的特点，代数的特点，几何里刚才我们谈到了立体几何。解析几何的学科特点应该讲是非常鲜明的，我们要用代数方法去研究数学问题。怎么用代数方法去研究数学问题呢?需要同学们通过读题、审题时紧紧抓住几何对象，只有把几何特征抓住、抓准，才有可能进行准确的代数化，用向量代数形式解决几何问题。这是这个学科对我们考生的一个基本要求，同学们在复习的时候也应该以此作为复习的目标。只有这样，我们才有可能完成立体几何的一些解题的目的。比如说选择题第四小题，求双曲线的离心率，那么离心率是多少，答案来看是四个当中的一个，双曲线的形状已经确定，哪个条件来决定这个双曲线的形状是确定的?这是第一句话，也就是说，是双曲线的渐近线，这是外围线，这条直线。用代数方法解决抛物线和直线的相接问题，最后得出关于X的第二次方程，这样可以利用代数的方法，方程得出为零，得出双曲线和直线的关系，确定离心率值的问题。

　　再比如说第十二题，选择题的最后一题，这道题难度其实并不是很大，只要同学们注意到了平面解析几何的特征，什么叫平面解析几何呢?怎么用代数方法解决问题呢?要把题目中给你的代数条件或几何条件搞清楚，把给的几何元素的代数形式写出来，这两方面做到了，做好了，作题并不是很困难。首先根据题目中所给的这样一些代数东西，把几何特征找到，比如交点坐标找出来，右边方程代数化。它又接着说有一个A点在右准线上，线段AF和椭圆交于点B，这时候好像同学们有一点疑惑，和B点，连接以后和椭圆交于点B，在什么位置上?在延长线上和椭圆相交，还是和椭圆直接相交。后面告诉我们了，向量FA等于三倍的向量FB。这涉及到几何和向量交汇的问题。通过这样的题目，B点就在F之间，焦点到准线距离是1，求AF的长度怎么来求?有右准线，有焦点，我们可以考虑定义，这样求B点到准线距离可以利用BF向量和AF向量的比例关系，因为到F点的准线距离知道，也就知道B点到准线的距离，点B到右交点的距离就出来了。尽管是选择题的最后一题，按照一般过去的经验来说，这道题有一定难度，但如果我们能够抓住解析几何的特征，充分利用解析几何的思维方法和思维特征，用几何的角度去分析它的代数形式，比如方程，它的坐标，用代数研究分析几何特征，用几何的东西考虑它要代数化。这门学科方法性特别强，我们在复习、答卷的时候要充分注意到这样一个问题，包括最后那个大题二十一题。

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