[高考数学知识点]解析几何中求参数取值范围的方法

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　　近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：

　　一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

　　曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。

　　例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）

　　求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a

　　分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.

　　解:设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2x2+x1y2+y1

　　又∵线段AB的垂直平分线方程为

　　y-y1+y22=-x2-x1y2-y1（x-x1+x22）

　　令y=0得x0=x1+x22a2-b2a2

　　又∵A，B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点

　　∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a

　　∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a

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　　例2如图，已知△OFQ的面积为S，且OFFQ=1，若12<S<2，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

　　分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题。

　　解:依题意有

　　∴tanθ=2S

　　∵12<S<2∴1<tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

　　∴π4<θ<p>

　　例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是

　　Aa<0Ba≤2C0≤a≤2D0<2<p>

　　分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a|求解.

　　解:设Q（y024，y0）由|PQ|≥a

　　得y02+（y024-a）2≥a2即y02（y02+16-8a）≥0

　　∵y02≥0∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+y028恒成立

　　又∵y02≥0

　　而2+y028最小值为2∴a≤2选（B）

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　　二、利用判别式构造不等式

　　在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。

　　例4设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是

　　A[-12，12]B[-2，2]C[-1，1]D[-4，4]

　　分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0

　　解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y=k（x+2）

　　由得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0

　　∵直线L与抛物线有公共点

　　∴△≥0即k2≤1解得-1≤k≤1故选（C）

　　例5直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。

　　分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。

　　解：由得（k2-2）x2+2kx+2=0

　　∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

　　解得-2<-2<p>

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　　三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

　　曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题。

　　例6已知椭圆2x2+y2=a2（a>0）与连结两点A（1，2）、B（2，3）的线段没有公共点，求实数a的取值范围。

　　分析:结合点A，B及椭圆位置，可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件。

　　解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

　　当A、B同时在椭圆内，则

　　解得a>17

　　当A、B同时在椭圆外，则

　　解得0<6<p>

　　综上所述，解得0<6或a>17

　　例7若抛物线y2=4mx（m≠0）的焦点在圆（x-2m）2+（y-1）2=4的内部，求实数m的取值范围。

　　分析:由于焦点（m，0）在圆内部，则把（m，0）代入可得.

　　解：∵抛物线的焦点F（m，0）在圆的内部，

　　∴（m-2m）2+（0-1）2<4即m2<3

　　又∵m≠0

　　∴-3<0或0<3<p>

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　　四、利用三角函数的有界性构造不等式

　　曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

　　例8若椭圆x2+4（y-a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围。

　　分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数θ的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。

　　解：设椭圆的参数方程为（θ为参数）

　　代入x2=2y得

　　4cos2θ=2（a+sinθ）

　　∴a=2cos2θ-sinθ=-2（sinθ+14）2+178

　　又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

　　例9已知圆C：x2+（y-1）2=1上的点P（m，n），使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

　　分析:把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定c的取值范围。

　　解：∵点P在圆上，∴m=cosβ，n=1+sinβ（β为参数）

　　∵m+n=cosβ+1+sinβ=2sin（β+π4）+1

　　∴m+n最小值为1-2，

　　∴-（m+n）最大值为2-1

　　又∵要使得不等式c≥-（m+n）恒成立

　　∴c≥2-1

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　　五、利用离心率构造不等式

　　我们知道，椭圆离心率e∈（0，1），抛物线离心率e=1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。

　　例10已知双曲线x2-3y2=3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点，L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

　　分析:由于椭圆中心不在原点，故先设椭圆中心，再找出椭圆中各量的关系，再利用椭圆离心率0<1，建立相关不等式关系求解.<p>

　　解：依题意得F的坐标为（2，0），L:x=32

　　设椭圆中心为（m，0），则m-2=c和m-32=a2c

　　两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2

　　∵0<1，∴0<1，解得m>2，

　　又∵当椭圆中心（m，0）在直线y=kx+3上，

　　∴0=km+3，即m=-3k，

　　∴-3k>2，解得-32<0<p>

　　上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。

 

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