高中数学知识点：椭圆的方程

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　　一、教学内容：椭圆的方程

　　高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质.

　　重点：椭圆的方程与几何性质.

　　难点：椭圆的方程与几何性质.

　　二、知识点：

　　1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

　　定 义第一定义：平面内与两个定点　)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 第二定义：

　　平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0

　　标

　　准

　　方

　　程焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　图 形焦点在x轴上

　　

焦点在y轴上

　　

　　性 质焦点在x轴上

　　范 围：

　　对称性：　轴、　轴、原点.

　　顶点：　，　.

　　离心率：e

　　概念：椭圆焦距与长轴长之比

　　定义式：

　　范围：

　　2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a

　　(2)余弦定理：　+　-2r1r2cos(3)面积：　=　r1r2 sin　?2c| y0 |(其中P(　)

　　三、基础训练：

　　1、椭圆　的标准方程为

，焦点坐标是　，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆　的值是__3或5__;

　　3、两个焦点的坐标分别为　___;

　　4、已知椭圆　上一点P到椭圆一个焦点　的距离是7，则点P到另一个焦点5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，　，则椭圆的离心率为6、方程　=10，化简的结果是　;

　　满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

　　8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系　顶点　，顶点　在椭圆　 上，则10、已知点F是椭圆　的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x≥0)是椭圆上的一个动点，则　的最大值是 8 .

　　【典型例题】

　　例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程.

　　(2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程.

　　解：设方程为　.

　　所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为　，求以　为焦点且过点　的椭圆方程 .

　　解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为　∴所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程.

　　解：设方程为

　　例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)　为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且　、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).

　　解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、　在　轴上，

　　则　=|OA|-|O　|=|　A|=6371+439=6810

　　解得　=7782.5，　=972.5

　　.

　　卫星运行的轨道方程为

　　例3、已知定圆

　　分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值　根据图形，用数学符号表示此结论：

　　上式可以变形为　，又因为　，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

　　解：知圆可化为：圆心Q(3，0)，

　　设动圆圆心为　，则　为半径　又圆M和圆Q内切，所以　，

　　即　 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以　，故动圆圆心M的轨迹方程是：

　　

　　例4、已知椭圆的焦点是　|和|(1)求椭圆的方程;

　　(2)若点P在第三象限，且∠　=120°，求　.

　　选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.

　　解：(1)由题设|　|=2|　|=4

　　(2)设∠　，则∠　=60°-θ

　　由正弦定理得：

　　由等比定理得：

　　

　　.

　　说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

　　例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向　轴作垂线段PP?@，求线段PP?@的中点M的轨迹(若M分 PP?@之比为　，求点M的轨迹)

　　解：(1)当M是线段PP?@的中点时，设动点　，则　的坐标为

　　因为点　在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

　　所以有 所以点

　　

　　(2)当M分 PP?@之比为　时，设动点　，则　的坐标为

　　因为点　在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有　，

　　例6、设向量　=(1， 0)，　=(x+m)　+y　=(x-m)　+y　|+| (I)求动点P(x，y)的轨迹方程;

　　(II)已知点A(-1， 0)，设直线y=　(x-2)与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得　?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

　　解：(I)∵　=(1， 0)，　 =(0， 1)， |　=6

　　上式即为点P(x， y)到点(-m， 0)与到点(m， 0)距离之和为6.记F1(-m， 0)，F2(m， 0)(0

　　∴ |PF1|+|PF2|=6>|F1F2|

　　又∵x>0，∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.

　　∵ 2a=6，∴a=3

　　又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2-c2=9-m2

　　∴ 所求轨迹方程为　(x>0，0

　　( II )设B(x1， y1)，C(x2， y2)，

　　∴∴ 而y1y2=　(x1-2)?　(x2-2)

　　=　[x1x2-2(x1+x2)+4]

　　∴　 [x1x2-2(x1+x2)+4]

　　=　[10x1x2+7(x1+x2)+13]

　　若存在实数m，使得　成立

　　则由　[10x1x2+7(x1+x2)+13]=

　　可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①

　　消去y，得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②

　　因为直线与点P的轨迹有两个交点.

　　由①、④、⑤解得m2=　<9，且此时△>0

　　但由⑤，有9m2-77=　<0与假设矛盾

　　∴ 不存在符合题意的实数m，使得

　　例7、已知C1：　，抛物线C2：(y-m)2=2px (p>0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

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