高中数学知识点：椭圆的方程

　　(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;

　　(Ⅱ)若p=　，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

　　解：(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1，　)或(1，-　).

　　此时C2的焦点坐标为(　，0)，该焦点不在直线AB上.

　　(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时，由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).

　　因为C2的焦点F′(　，m)在y=k(x-1)上.

　　所以k2x2-　(k2+2)x+　=0 ②

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

　　(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③

　　由于x1、x2也是方程③的两根，所以x1+x2=

　　又m=-　∴m=　或m=-

　　当m=　时，直线AB的方程为y=-　(x-1);

　　当m=-　时，直线AB的方程为y=　(x-1).

　　例8、已知椭圆C：　(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e.直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设　=　.

　　(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若　，△MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程;

　　(Ⅲ)确定解：(Ⅰ)因为A、B分别为直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A(-　，0)，B(0，a).

　　(Ⅱ)当　时，　∴a=2c

　　由△MF1F2的周长为6，得2a+2c=6

　　∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3

　　故所求椭圆C的方程为

　　(Ⅲ)∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即　|PF1|=C.

　　设点F1到l的距离为d，由

　　即当(注：也可设P(x0，y0)，解出x0，y0求之)

　　【模拟试题】

　　一、选择题

　　1、动点M到定点　和　的距离的和为8，则动点M的轨迹为

　　A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线

　　2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

　　A、　C、2-　-1

　　3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C：　的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为

　　A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定

　　4、椭圆　的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为

　　A、32 B、16 C、8 D、4

　　5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上，则　的最小值为

　　6、我们把离心率等于黄金比　是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则　等于

　　A、　C、

　　二、填空题

　　7、椭圆　的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 .

　　8、设F是椭圆　的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1，2，　)，使得|FP1|、|FP2|、|FP3|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .

　　9、设　，　是椭圆　的两个焦点，P是椭圆上一点，且　，则得　.

　　10、若椭圆　=1的准线平行于x轴则m的取值范围是

　　三、解答题

　　11、根据下列条件求椭圆的标准方程

　　(1)和椭圆　共准线，且离心率为　.

　　(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为　和　，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

　　12、已知　轴上的一定点A(1，0)，Q为椭圆　上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

　　13、椭圆　的焦点为　=(3， -1)共线.

　　(1)求椭圆的离心率;

　　(2)设M是椭圆上任意一点，且　=　、　∈R)，证明　为定值.

　　【试题答案】

　　1、B

　　2、D

　　3、A

　　4、B

　　5、D(法一：设　，则y=kx代入椭圆方程中得：(1+2k2)x2-4x+3=0，由△≥0得：　.法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解)

　　6、C

　　7、(　;(0，　);6;10;8;　;　.

　　10、m<　且m≠0.

　　11、(1)设椭圆方程　.

　　所求椭圆方程为　的坐标为

　　13、解：设P点横坐标为x0，则　为钝角.当且仅当　.

　　14、(1)解：设椭圆方程　，F(c，0)，则直线AB的方程为y=x-c，代入　，化简得：

　　由　=(x1+x2，y1+y2)，　共线，得：3(y1+y2)+(x1+x2)=0，

　　又y1=x1-c，y2=x2-c

　　∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，∴ x1+x2=

　　(2)证明：由(1)知a2=3b2，所以椭圆　可化为x2+3y2=3b2

　　∵M∴ 2+3

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