充要条件与反证法

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    分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.
    解:当n=1时,a1=S1=p+q;
    当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1.
    由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,则 =p,即(p-1)·p=p(p+q),∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
    再证充分性:
    当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
    an=(p-1)·pn-1, =p(n≥2),
    ∴{an}是等比数列.
    培养能力
    7.(2009年湖南,9)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩( UB)的充要条件是
    A.m>-1,n<5       B.m<-1,n<5
    C.m>-1,n>5       D.m<-1,n>5
    解析:∵ UB={(x,y)|n<x+y},将P(2,3)分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
    答案:A
    8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,           ①
    x2-4mx+4m2-4m-5=0.                  ②
    求使方程①②都有实根的充要条件.
    解:方程①有实数根的充要条件是Δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
    方程②有实数根的充要条件是Δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥- .
    ∴方程①②都有实数根的充要条件是- ≤m≤1.
    9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
    求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
    证明:反证法:
    假设三个方程中都没有两个相异实根,
    则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
    相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
    (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.             ①
    由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
    ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
    探究创新
    10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
    解:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
    而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
    ∵π-3>0,且无论x、y、z为何实数,
    (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
    ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
    ●思悟小结
    1.要注意一些常用的"结论否定形式",如"至少有一个""至多有一个""都是"的否定形式是"一个也没有""至少有两个""不都是".
    2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
    ●教师下载中心
    教学点睛
    1.掌握常用反证法证题的题型,如含有"至少有一个""至多有一个"等字眼多用反证法.
    2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
    3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
    拓展题例
    【例题】 指出下列命题中,p是q的什么条件.
    (1)p:0<x<3,q:|x-1|<2;
    (2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
    (3)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
    解:(1)p:0<x<3,q:-1<x<3.
    p是q的充分但不必要条件.
    (2)p q,q p.p是q的必要但不充分条件.
    (3)p是q的充要条件.
    评述:依集合的观点看,若A B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

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