充要条件与反证法

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充要条件与反证法

    ●知识梳理
    1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
    2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
    3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
    4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
    ●点击双基
    1.ac2>bc2是a>b成立的
    A.充分而不必要条件      B.充要条件
    C.必要而不充分条件      D.既不充分也不必要条件
    解析:a>b ac2>bc2,如c=0.
    答案:A
    2.(2009年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    解析:命题甲:a·b=a·c a·(b-c)=0 a=0或b=c.
    命题乙:b=c,因而乙 甲,但甲 乙.
    故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
    答案:B
    3.(2009年浙江,8)在△ABC中,"A>30°"是"sinA> "的
    A.充分而不必要条件      B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件
    解析:在△ABC中,A>30° 0<sinA<1 sinA> ,sinA>  30°<A<150°
    A>30°.
    ∴"A>30°"是"sinA> "的必要不充分条件.
    答案:B
    4.若条件p:a>4,q:5<a<6,则p是q的______________.
    解析:a>4 5<a<6,如a=7虽然满足a>4,但显然a不满足5<a<6.
    答案:必要不充分条件
    5.(2009年春季上海,16)若a、b、c是常数,则"a>0且b2-4ac<0"是"对任意x∈R,有ax2+bx+c>0"的
    A.充分不必要条件       B.必要不充分条件
    C.充要条件        D.既不充分也不必要条件
    解析:若a>0且b2-4ac<0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c>0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c>0.因此应选A.
    答案:A
    ●典例剖析
    【例1】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
    A.x<0                   B.x≥0
    C.x∈{-1,3,5}       D.x≤- 或x≥3
    剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤- 或x≥3,∴对于A当x=- 时 2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
    答案:C
    【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
    证明:(1)必要性,即"若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0".
    ∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
    (2)充分性,即"若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根".
    把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
    综合(1)(2)知命题成立.
    深化拓展
    求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
    证明:必要性:
    (1)方程有一正根和一负根,等价于
    a<0.
    (2)方程有两负根,等价于
    0<a≤1.
    综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1.
    充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
    答案:a<0或0<a≤1.
    【例3】 下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
    (1)x2=x+2是x =x2的充分条件;
    (2)x2=x+2是x =x2的必要条件.
    解:(1)x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
    但这里" "不成立,因为x=-1时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
    x2=x+2 x=  x2=x .
    这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
    (2)x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
    但这里" "不成立,因为x=0时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
    x =x2  =x x+2=x2.
    这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
    评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x =x2的真值集合是{0,2},{-1,2} {0,2},而{0,2}  {-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
    ●闯关训练
    夯实基础
    1.(2009年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
    A.充分不必要条件       B.必要不充分条件
    C.充要条件        D.既不充分也不必要条件
    解析:依题意有p r,r s,s q,∴p r s q.但由于r p,∴q p.
    答案:A
    2.(2009年北京高考题)"cos2α=- "是"α=kπ+ ,k∈Z"的
    A.必要不充分条件       B.充分不必要条件
    C.充分必要条件       D.既不充分又不必要条件
    解析:cos2α=-  2α=2kπ±  α=kπ± .
    答案:A
    3.(2009年海淀区第一学期期末练习)在△ABC中,"A>B"是"cosA<cosB"的
    A.充分不必要条件       B.必要不充分条件
    C.充要条件        D.既不充分也不必要条件
    解析:在△ABC中,A>B cosA<cosB(余弦函数单调性).
    答案:C
    4.命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
    答案:充分不必要
    5.(2009年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
    A.a∈(-∞,1]       B.a∈[2,+∞)
    C.α∈[1,2]       D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
    解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a]或[1,2] [a,+∞),即a≥2或a≤1.
    答案:D
    6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.

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