数学教案－一元二次方程根与系数的关系

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一、教学目标

1、理解掌握一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根x₁，x₂与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

二、重难点

根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。

三、教学过程

（一）问题引探

问题1.在方程ax²+bx+c=0中，a的取值决定什么？b²-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax²+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

问题2.解方程x²-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？

问题3.解下列方程：

（1）2x²+5x+3=0                              （2）3x²-2x-2=0

并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根x₁，x₂与a、b、c之间的关系：____________.

问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

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www.jiaoshi66.com 分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁= ，x₂= ,  则

x₁+x₂= + = ;

x₁ x₂= · =  

        =

即：如果ax²+bx+c=0（a≠0）的两根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=   ，x₁x₂=  。

由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。

问题6.在方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

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