平方差公式教案

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平方差公式教案

    教学过程
    Ⅰ.提出问题,创设情境
    [师]你能用简便方法计算下列各题吗?
    (1)2009×1999   (2)998×1002
    [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2009可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2009×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.
    [生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.
    [师]很好,请同学们自己动手运算一下.
    [生](1)2009×1999=(2000+1)(2000-1)
    =20002-1×2000+1×2000+1×(-1)
    =20002-1
    =4000000-1
    =3999999.
    (2)998×1002=(1000-2)(1000+2)
    =10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2
    =10002-22
    =1000000-4
    =1999996.
    [师]2009×1999=20002-12
    998×1002=10002-22
    它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.
    Ⅱ.导入新课
    [师]出示投影片
    计算下列多项式的积.
    (1)(x+1)(x-1)
    (2)(m+2)(m-2)
    (3)(2x+1)(2x-1)
    (4)(x+5y)(x-5y)
    观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.
    (学生讨论,教师引导)
    [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.
    [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.
    [师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.
    [生]解:(1)(x+1)(x-1)
    =x2+x-x-1=x2-12
    (2)(m+2)(m-2)
    =m2+2m-2m-2×2=m2-22
    (3)(2x+1)(2x-1)
    =(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12
    (4)(x+5y)(x-5y)
    =x2+5y·x-x·5y-(5y)2
    =x2-(5y)2
    [生]从刚才的运算我发现:
    也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.
    [师]能不能再举例验证你的发现?
    [生]能.例如:
    51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.
    即(50+1)(50-1)=502-12.
    (-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)
    =(-a)2-b2=a2-b2
    这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
    [师]为什么会是这样的呢?
    [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.
    [师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.
    [生]这个规律用符号表示为:
    (a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.
    利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:
    (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
    [师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢?
    [生]最终结果是两个数的平方差,叫它"平方差公式"怎样样?
    [师]有道理.这就是我们探究得到的"平方差公式",请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.
    (出示投影)
    两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
    即:(a+b)(a-b)=a2-b2
    平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.
    在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算
    (出示投影片)
    例1:运用平方差公式计算:
    (1)(3x+2)(3x-2)
    (2)(b+2a)(2a-b)
    (3)(-x+2y)(-x-2y)
    例2:计算:
    (1)102×98
    (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
    [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.
    在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.
    即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
    (a+b)(a-b)=a2-b2
    同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:
    (b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).
    如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.
    (作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)
    [例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
    (2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
    (3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
    [例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)
    =1002-22=10000-4=9996.
    (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
    =y2-22-(y2+5y-y-5)
    =y2-4-y2-4y+5
    =-4y+1.
    [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么?
    [生]我觉得应注意以下几点:
    (1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
    (2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
    (3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.
    [生]运算的最后结果应该是最简才行.
    [师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言.
  

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;  Ⅲ.随堂练习
    出示投影片:
    计算:
    (1)(a+b)(-b+a)
    (2)(-a-b)(a-b)
    (3)(3a+2b)(3a-2b)
    (4)(a5-b2)(a5+b2)
    (5)(a+2b+2c)(a+2b-2c)
    (6)(a-b)(a+b)(a2+b2)
    Ⅳ.课时小结
    通过本节学习我们掌握了如下知识.
    (1)平方差公式
    两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这个公式叫做乘法的平方差公式.即(a+b)(a-b)=a2-b2.
    (2)公式的结构特征
    ①公式的字母a、b可以表示数,也可以表示单项式、多项式;
    ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式;
    ③有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]=(x-z)2-y2.
    Ⅴ.课后作业
    1.课本P179练习1、2.
    2.课本P182~P183习题15.3─1题