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人教新课标数学七年级《完全平方公式》教学设计之一,
完全平方公式(一)
一、教学目标
(一)知识目标
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力目标
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感目标
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
二、教学重难点
（一）教学重难点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
（二）教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
三、教具准备
投影片四张
第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)
第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)
第三张：例题，记作(§1.8.1 C)
第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？
(出示投影片§1.8.1 A)
想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
［生］用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.
［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2·a ·b + b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.8.1 B)
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;
(3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
解：(1)方法一：
［例2］利用完全平方公式计算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2
=4y2－4xy+x2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.
(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2
=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.
(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2
=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)
=4xy.
方法二：(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2
=［(2x－3y)(2x+3y)］2
=［4x2－9y2］2
=16x4－72x2y2+81y4.
Ⅲ.随堂练习
课本P34，1.计算：
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(1)(x－2y)2;(2)(2xy+x)2;
(3)(n+1)2－n2.
解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2
(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2
(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本P36.习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读”，并回答文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？
［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.
令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+
20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.
因甲先取10元，而乙最后一次取钱时不足10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下不足10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下不足10元).
［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.
五、板书设计
§1.8.1 完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式：
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
对比得：(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2
=a2－2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn－a)2
四、随堂练习(略)
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