人教新课标数学七年级《三角形全等的判定》教学设计之二

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三角形全等的判定(二)


一、教学目的和要求
　　熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等 ，进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。

二、教学重点和难点
　　重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重视。
　　难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全等，运用不同判定公理时，要思路清楚。

二、教学过程
(一)复习、引入
　提问：
　1. 我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？
　　（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。
　2. 已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到哪个判定公理？
　　（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于，由此可以得到角角边公理）。
　3. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？
　　（全等，由AAS公理可得出）
　4. 两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
　　（全等，由AAS公理可得出）
5. 两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
　　（全等，由AAS公理可得出）

(二)新课
　　刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意，下面我们看几个例题：
　例1　已知：如图67，(1＝(2，AD＝AE
　　　 求证：OB＝OC

　　分析：这题与书中例1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段OB和OC分别在(BOD和(COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件。根据已知条件，可证明(ABE ( (ACD。
　　证明：
　　在(ABE和(ACD中
　　
　　((ABE ( (ACD（ASA）
　　(AB＝AC（全等三角形对应边相等）
　　 (B＝(C（全等三角形对应边相等）
　　又∵AD＝AE（已知）
　　　　
　　　　(1＝(2
　　((BDO＝(CEO
　　在(BOD和(COE中
　　
　　((BOD ( (COE（ASA）
　　(OB＝OC（全等三角形对应边相等）


　例2　已知：如图68，(1＝(2，(3＝(4
　　　 求证：(ADC＝(BCD。

　　分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即(ACD和(BDC中，欲让此两三角形全等有已知(3＝(4，这时可有两种思路：若用边角边公理，则应找到AD＝BC，AC＝BD，若用角边角公理则应证出AC＝BD，(ACD＝(BDC，经过分析，用第一种思路较好。
　　证明：∵(1＝(2，(3＝(4
　　　　　((1＋(3＝(2＋(4
　　　　　即(BAD＝(ABC
　　　　　在(ABD和(BAC中
　　　　　
　　　　　((ABD ( (BAC(ASA)
　　　　　(AD＝BC，BD＝AC（全等三角形对应边相等）
　　　　　在(ADC和(BCD中
　　　　　
　　　　 ((ADC ( (BCD(SAS)
　　　　 ((ADC＝(BCD（全等三角形对应角相等）

　例3　已知：如图69，AB//CD，AB＝CD，AD、CB交于O点。
　　　 求证：OE＝OF。

　　分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即(COD与(BOA全等既可以用“AAS”，又可以用“ASA”，进一步再证(OCF ( (OBE即可。
　　证明：∵AB//CD（已知）
　　　　　((C＝(B，(D＝(A（两直线平行内错角相等）
　　　　　在(OCD和(OBA中
　　　　　
　　　　　((OCD ( (OBA（ASA）
　　　　　此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等？
　　　　　(OC＝OB（全等三角形对应边相等）
　　　　　在(OCF和(OBE中
　　　　　
　　　　 ((OCF ( (OBE（ASA）
　　　　 (OF＝OE（全等三角形对应边相等）

　例4　已知：如图70，在(ABC中，AD(BC于D，CF(AB于F，AD与CF相交于G，且CG＝AB。
　　　 求证：(BCA的度数。

　　分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形，即(ABD和(CGD全等，然后可知对应边AD＝DC，则(ADC为等腰直角三角形，(BCA＝。
　　证明：∵AD(BC，CF(AB
　　　　　((B＋(BAD＝(B＋(DCG＝（直角三角形两个锐角互余）
　　　　　((BAD＝(DCG
　　　　　在(BAD和(GCD中
　　　　　
　　　　　((BAD ( (GCD(AAS)
　　　　　(AD＝CD（全等三角形对应边相等）
　　　　　∵Rt(ADC中
　　　　　((BCA＝

(三)巩固练习
　1. 已知：如图71，(1＝(2，(C＝(D
　　求证：AC＝AD。

　2. 已知：如图72，点B、F、C、E同在一条直线上，FB＝CE，AF＝DC，(AFB＝(DCE。
　　求证：AB＝DE；AC＝DF。


(四)小结
　1. 三角形全等公理2与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是ASA。
2. 在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中，若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。

(五)作业
　1. 已知：如图73，(ABC中，N是AB中点，BCMN是平行四边形
　　求证：AP＝PC。

　2. 已知：如图74，(ABC中，BD(AC，CE(AB
　　垂足分别是D、E。(ABC＝(ACB，BD和CE相交于O。
　　求证：OD＝OE。

　3. 已知：如图75，点E、F在BC上，BE＝CF。
　　AB＝DC，(B＝(C，AF和DE相交成角，且AF、DE相交于O点，
　　求：(DFE和(AFE的度数。

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答案及揭示
巩固练习
　1. 证明：在(ABD和(ABC中
　　　　　
　　　　　((ABD ( (ABC（ASA）
　　　　　(AC＝AD（全等三角形对应边相等）
　2. 证明：在(ABF和(DEC中
　　　　 
　　　　　((ABF ( (DEC（SAS）
　　　　　（全等三角形对应边相等）
　　　　　((B＝(E（全等三角形对应角相等）
　　　　　BF＋FC＝EC＋FC（等量加等量和相等）
　　　　　在(ABC和(CEF中
　　　　　
　　((ABC ( (DEF（SAS）
　　(AC＝DF（全等三角形对应边相等）

作业：
　1. 证明：∵N是AB中点
　　　　　 (AN＝BN（中点定义）
　　　　　 ∵BCMN是平行四边形
　　　　　 (BN＝CM＝AN
　　　　　 ∵AB//MC（平行四边形对边平行）
　　　　　 ((ANP＝(M（两直线平行内错角相等）
　　　　　 在(ANP和(CMP中
　　　　　 
　　((ANP ( (CMP（AAS）
　　(AP＝PC（全等三角形对应边相等）
　2. 证明：∵BD(AC，CE(AB（已知）
　　　　　 ((BEC＝(CDB（直角定义）
　　　　　 在(BCD和(CBE中
　　　　　 
　　　　　 ((BCD ( (CBE（AAS）
　　　　　 (BE＝CD（全等三角形对应边相等）
　　　　　 在(OBE和(OCD中
　　　　　 
　　((OBE ( (OCD（AAS）
　　(OD＝OE（全等三角形对应边相等）
　3. 解：∵BE＝CF（已知）
　　　　 (BE＋EF＝FC＋EF（等量加等量和相等）
　　　　 即BF=CE
　　　　 在(ABF＝(DCE中
　　　　 
　　　　 ((ABF ( (DCF（SAS）
　　　　 

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